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CONJUNTO
1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.Exemplo: conjunto dos números pares positivos:
P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:P = { x x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
1.1 - Relação de pertinência: Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A,onde o símbolo Îsignifica "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y Ï A.
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por f . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos:Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.
1.2 - Subconjunto: Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
2 - Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:
Conjunto dos números naturaisN = {0,1,2,3,4,5,6,... }
Conjunto dos números inteirosZ = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }Obs: é evidente que N Ì Z.
Conjunto dos números racionaisQ = {x; x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero!
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.
Notas:a) é evidente que N Ì Z Ì Q.b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.Exemplo: 0,4444... = 4/9
Conjunto dos números irracionais I = {x; x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais: p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica)Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).Conjunto dos números reaisR = { x; x é racional ou x é irracional}.
Notas:
a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì Rb) I Ì Rc) I È Q = R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!
3 - Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
TIPOS
REPRESENTAÇÃO
OBSERVAÇÃO
INTERVALO FECHADO
[p;q] = {x Î R; p £ x £ q}
inclui os limites p e q
INTERVALO ABERTO
(p;q) = { x Î R; p < x < q}
exclui os limites p e q
INTERVALO FECHADO A ESQUERDA
[p;q) = { x Î R; p £ x < q}
inclui p e exclui q
INTERVALO FECHADO À DIREITA
(p;q] = {x Î R; p < x £ q}
exclui p e inclui q
INTERVALO SEMI-FECHADO
[p;¥ ) = {x Î R; x ³ p}
valores maiores ou iguais a p.
INTERVALO SEMI-FECHADO
(- ¥ ; q] = { x Î R; x £ q}
valores menores ou iguais a q.
INTERVALO SEMI-ABERTO
(-¥ ; q) = { x Î R; x < q}
valores menores do que q.
INTERVALO SEMI-ABERTO
(p; ¥ ) = { x > p }
valores maiores do que p.
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ).
4 - Operações com conjuntos
4.1 - União ( È )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}.Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A È A = Ab) A È f = Ac) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)d) A È U = U , onde U é o conjunto universo.
4.2 - Interseção ( Ç )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}.Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}.
Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A Ç A = Ab) A Ç Æ = Æ c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)
P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)
P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção)
P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção)Obs: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
4.3 - Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}. Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A - f = Ab) f - A = f c) A - A = Æ d) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
4.3.1 - Complementar de um conjuntoTrata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .Simbologia: CAB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' . Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:
a) B Ç B' = fb) B È B' = U c) f' = Ud) U' = f
5 - Partição de um conjunto.
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. Assim, o conjunto das partes de A será:P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):X = { {2}, {3,5} }Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:a) nenhum dos elementos de X é Ø .b) {2} Ç {3, 5} = Øc) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = ASendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto Z dos números inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} Ç {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = Z .
6 - Número de elementos da união de dois conjuntos.
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)
7 - Exercícios resolvidos:
1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;b) quando chove de manhã não chove à tarde;c) houve 5 tardes sem chuva;d) houve 6 manhãs sem chuva.Podemos afirmar então que n é igual a:a)7 b)8 *c)9 d)10 e)11Veja a solução AQUI.
2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:*a)48b)35 c)36 d)47 e)37Para ver a solução clique AQUI
3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:*a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5Clique AQUI para ver a solução.
4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:a)século XIX b)século XX c)antes de 1860d)depois de 1830 e)nenhuma das anteriores
Pode-se garantir que a resposta correta é:a)a b)b *c)c d)d e)eClique AQUI para ver a solução.
8 - Exercícios propostos
1 - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 *e)10
2 - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ?*a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
3) PUC-SP - Se A = Æ e B = {Æ }, então:*a) A Î B b) A È B = Æc) A = B d) A Ç B = B e) B Ì A
4) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A Ç B é 30, o número de elementos de A Ç C é 20 e o número de elementos de A Ç B Ç C é 15. Então o número de elementos de A Ç (B È C) é igual a:*a)35 b)15 c)50 d)45 e)20
5) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:*a)2 ou 5 b)3 ou 6 c)1 ou 5 d)2 ou 6 e)4 ou 5
P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:P = { x x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
1.1 - Relação de pertinência: Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A,onde o símbolo Îsignifica "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y Ï A.
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por f . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos:Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.
1.2 - Subconjunto: Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
2 - Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:
Conjunto dos números naturaisN = {0,1,2,3,4,5,6,... }
Conjunto dos números inteirosZ = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }Obs: é evidente que N Ì Z.
Conjunto dos números racionaisQ = {x; x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero!
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.
Notas:a) é evidente que N Ì Z Ì Q.b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.Exemplo: 0,4444... = 4/9
Conjunto dos números irracionais I = {x; x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais: p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica)Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).Conjunto dos números reaisR = { x; x é racional ou x é irracional}.
Notas:
a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì Rb) I Ì Rc) I È Q = R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!
3 - Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
TIPOS
REPRESENTAÇÃO
OBSERVAÇÃO
INTERVALO FECHADO
[p;q] = {x Î R; p £ x £ q}
inclui os limites p e q
INTERVALO ABERTO
(p;q) = { x Î R; p < x < q}
exclui os limites p e q
INTERVALO FECHADO A ESQUERDA
[p;q) = { x Î R; p £ x < q}
inclui p e exclui q
INTERVALO FECHADO À DIREITA
(p;q] = {x Î R; p < x £ q}
exclui p e inclui q
INTERVALO SEMI-FECHADO
[p;¥ ) = {x Î R; x ³ p}
valores maiores ou iguais a p.
INTERVALO SEMI-FECHADO
(- ¥ ; q] = { x Î R; x £ q}
valores menores ou iguais a q.
INTERVALO SEMI-ABERTO
(-¥ ; q) = { x Î R; x < q}
valores menores do que q.
INTERVALO SEMI-ABERTO
(p; ¥ ) = { x > p }
valores maiores do que p.
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ).
4 - Operações com conjuntos
4.1 - União ( È )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}.Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A È A = Ab) A È f = Ac) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)d) A È U = U , onde U é o conjunto universo.
4.2 - Interseção ( Ç )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}.Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}.
Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A Ç A = Ab) A Ç Æ = Æ c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)
P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)
P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção)
P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção)Obs: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
4.3 - Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}. Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A - f = Ab) f - A = f c) A - A = Æ d) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
4.3.1 - Complementar de um conjuntoTrata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .Simbologia: CAB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' . Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:
a) B Ç B' = fb) B È B' = U c) f' = Ud) U' = f
5 - Partição de um conjunto.
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. Assim, o conjunto das partes de A será:P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):X = { {2}, {3,5} }Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:a) nenhum dos elementos de X é Ø .b) {2} Ç {3, 5} = Øc) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = ASendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto Z dos números inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} Ç {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = Z .
6 - Número de elementos da união de dois conjuntos.
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)
7 - Exercícios resolvidos:
1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;b) quando chove de manhã não chove à tarde;c) houve 5 tardes sem chuva;d) houve 6 manhãs sem chuva.Podemos afirmar então que n é igual a:a)7 b)8 *c)9 d)10 e)11Veja a solução AQUI.
2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:*a)48b)35 c)36 d)47 e)37Para ver a solução clique AQUI
3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:*a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5Clique AQUI para ver a solução.
4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:a)século XIX b)século XX c)antes de 1860d)depois de 1830 e)nenhuma das anteriores
Pode-se garantir que a resposta correta é:a)a b)b *c)c d)d e)eClique AQUI para ver a solução.
8 - Exercícios propostos
1 - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 *e)10
2 - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ?*a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
3) PUC-SP - Se A = Æ e B = {Æ }, então:*a) A Î B b) A È B = Æc) A = B d) A Ç B = B e) B Ì A
4) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A Ç B é 30, o número de elementos de A Ç C é 20 e o número de elementos de A Ç B Ç C é 15. Então o número de elementos de A Ç (B È C) é igual a:*a)35 b)15 c)50 d)45 e)20
5) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:*a)2 ou 5 b)3 ou 6 c)1 ou 5 d)2 ou 6 e)4 ou 5
